과일 나누어 주기

[출제의도] 중복조합을 이용하여 경우의 수를 구한다. $6$개의 과일에서 선택한 $4$개의 과일 중 사과, 배, 귤의 개수를 각각 $x$, $y$, $z$라 하자. (ⅰ) $( x , y , z )$$=$$\left( 0 , 2 , 2 \right)$인 경우 배 $2$개와 귤 $2$개를 $2$명의 학생에게 나누어주는 경우의 수는 각각 ${} _{2} {\mathrm{H}} _{2}$, ${} _{2} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{2}}}$이고, $4$개의 과일을 한 명의 학생에게 모두 주는 경우는 제외해야 하므로 구하는 경우의 수는 ${} _{2} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{2}}} \times _{2} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{2}}} - 2$$= _{3} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} \times _{3} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} - 2$$= 3 \times 3 - 2$$= 7$ $( x , y , z )$$=$$\left( 2 , 0 , 2 \right)$, $\left( 2 , 2 , 0 \right)$인 경우의 수도 모두 $7$이다. (ⅱ) $( x , y , z )$$=$$\left( 1 , 1 , 2 \right)$인 경우 사과 $1$개, 배 $1$개, 귤 $2$개를 $2$명의 학생에게 나누어주는 경우의 수는 차례로 ${} _{2} {\mathrm{H}} _{1}$, ${} _{2} {\mathrm{H}} _{1}$, ${} _{2} \mathrm{H} \mathit{_{2}}$이고, $4$개의 과일을 한 명의 학생에게 모두 주는 경우는 제외해야 하므로 구하는 경우의 수는 ${} _{2} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{1}}} \times _{2} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{1}}} \times _{2} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{2}}} - 2$$= _{2} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}} \times _{2} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}} \times _{3} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} - 2$$= 2 \times 2 \times 3 - 2$$= 10$ $( x , y , z )$$=$$\left( 1 , 2 , 1 \right)$, $\left( 2 , 1 , 1 \right)$인 경우의 수도 모두 $10$이다. 위의 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 $3 \times 7 + 3 \times 10 = 51$ [다른 풀이] $6$개의 과일에서 선택한 $4$개의 과일 중 사과, 배, 귤의 개수를 각각 $x$, $y$, $z$라 하고, $2$명의 학생을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하자. 이때 과일을 하나도 받지 못하는 학생이 없어야 하고, 학생 $\mathrm{A}$가 받는 과일이 정해지면 학생 $\mathrm{B}$가 받는 과일도 정해진다. (ⅰ) $( x , y , z )$$=$$\left( 0 , 2 , 2 \right)$인 경우 학생 $\mathrm{A}$가 받는 배와 귤의 수를 순서쌍으로 나타내면 $\left( 0 , 1 \right)$, $\left( 0 , 2 \right)$, $\left( 1 , 0 \right)$, $\left( 1 , 1 \right)$, $\left( 1 , 2 \right)$, $\left( 2 , 0 \right)$, $\left( 2 , 1 \right)$ 이므로 구하는 경우의 수는 $7$이다. 이때 $( x , y , z )$$=$$\left( 2 , 0 , 2 \right)$, $\left( 2 , 2 , 0 \right)$인 경우의 수도 모두 $7$이다. (ⅱ) $( x , y , z )$$=$$\left( 1 , 1 , 2 \right)$인 경우 학생 $\mathrm{A}$가 받는 사과, 배, 귤의 수를 순서쌍으로 나타내면 $\left( 0 , 0 , 1 \right)$, $\left( 0 , 0 , 2 \right)$, $\left( 0 , 1 , 0 \right)$, $\left( 0 , 1 , 1 \right)$, $\left( 0 , 1 , 2 \right)$, $\left( 1 , 0 , 0 \right)$, $\left( 1 , 0 , 1 \right)$, $\left( 1 , 0 , 2 \right)$, $\left( 1 , 1 , 0 \right)$, $\left( 1 , 1 , 1 \right)$ 이므로 구하는 경우의 수는 $10$이다. 이때 $( x , y , z )$$=$$\left( 1 , 2 , 1 \right)$, $\left( 2 , 1 , 1 \right)$인 경우의 수도 모두 $10$이다. 위의 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 $3 \times 7 + 3 \times 10 = 51$