구슬 나누기 경우의 수

[출제의도] 중복조합을 이해하고 경우의 수를 구한다. 세 개의 주머니 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에 넣은 공의 수를 각각 $a$, $b$, $c$라 하면 $a + b + c = 5$이므로 가능한 모든 경우의 수는 ${}_{3} \mathrm{H} \mathit{\mathrm{_{5}}} = _{3 + 5 - 1} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{5}}} = _{7} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{5}}} = 21$ (ⅰ) $2$개의 주머니에 다섯 개의 공을 $1$개와 $4$개로 나누어 넣는 경우의 수 ${}_{3} {\mathrm{P}} _{2} = 6$ (ⅱ) 한 개의 주머니에 다섯 개의 공을 모두 넣는 경 우의 수 ${}_{3{\mathrm{C}}_{1}} = 3$ 따라서 구하는 경우의 수는 $21 - ( 6 + 3 ) = 12$이다. [다른 풀이] 한 주머니에 네 개 이상의 공을 넣을 수 없으므로 세 개의 주머니에 넣는 공의 수에 따라 경우를 나누면 (ⅰ) 한 개의 주머니에 공을 세 개 넣고 다른 주머니에 공을 두 개 넣는 경우는 $3$, $2$, $0$을 일렬로 나열하는 경우와 같으므로 $3 ! = 6$ (ⅱ) 한 개의 주머니에 공을 세 개 넣고 나머지 두 개의 주머니에 공을 한 개씩 넣는 경우는 $3$, $1$, $1$을 일렬로 나열하는 경우와 같으므로 $\displaystyle \frac{3 !}{2 !} = 3$ (ⅲ) 한 개의 주머니에 공을 한 개 넣고 나머지 두 개의 주머니에 공을 두 개씩 넣는 경우는 $1$, $2$, $2$를 일렬로 나열하는 경우와 같으므로 $\displaystyle \frac{3 !}{2 !} = 3$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는 $6 + 3 + 3 = 12$이다.