구슬 꺼내기 조건부확률

[출제의도] 이해능력-확률 $a _{1} \geq 3$일 사건을 $A$라 하면 $\displaystyle P ( A ) = \frac{3}{5}$이고, $a _{1} b _{1} < a _{2} b _{2}$일 사건을 $B$라 하면 $P ( A \cap B )$는 다음과 같이 $a _{1}$의 값에 따라 나누어 구할 수 있다. (ⅰ) $a _{1} = 3$인 경우 $b _{1} = 1$일 때, $3 < a _{2} b _{2}$를 만족시키는 경우는 $( a _{2} , b _{2} ) = ( 5 , 1 )$, $( 5 , 2 )$, $( 4 , 1 )$, $( 4 , 2 )$, $( 2 , 2 )$ $b _{1} = 2$일 때, $6 < a _{2} b _{2}$를 만족시키는 경우는 $( a _{2} , b _{2} ) = ( 5 , 2 )$, $( 4 , 2 )$이므로 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{1}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times \left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \right) + \frac{1}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{4} \times \left( \frac{2}{4} + \frac{2}{4} \right)$ $\displaystyle = \frac{11}{200} + \frac{3}{100} = \frac{17}{200}$ (ⅱ) $a _{1} = 4$인 경우 $b _{1} = 1$일 때, $4 < a _{2} b _{2}$를 만족시키는 경우는 $( a _{2} , b _{2} ) = ( 5 , 1 )$, $( 5 , 2 )$, $( 3 , 2 )$ $b _{1} = 2$일 때, $8 < a _{2} b _{2}$를 만족시키는 경우는 $( a _{2} , b _{2} ) = ( 5 , 2 )$이므로 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{1}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times \left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \right) + \frac{1}{5} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{4}$ $\displaystyle = \frac{7}{200} + \frac{3}{100} = \frac{1}{20}$ (ⅲ) $a _{1} = 5$인 경우 $a _{1} b _{1} < a _{2} b _{2}$이려면 $b _{1} = 1$이어야 한다. 따라서 $5 < a _{2} b _{2}$를 만족시키는 경우는 $( a _{2} , b _{2} ) = ( 4 , 2 )$, $( 3 , 2 )$이므로 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{1}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times \left( \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \right) = \frac{3}{100}$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $\displaystyle P ( A \cap B ) = \frac{17}{200} + \frac{1}{20} + \frac{3}{100} = \frac{33}{200}$ 따라서 $\displaystyle P \left( B | A \right) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{\frac{33}{200}}{\frac{3}{5}} = \frac{11}{40}$ 따라서 $p = 40 , q = 11$이므로 $p + q = 51$