구름다리 원의 현

[출제의도] 원의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결한다. 호 $\mathrm{AB}$를 포함한 원을 그리면 아래와 같다. 원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하면 반지름 $\mathrm{ON}$은 현 $\mathrm{AB}$를 수직이등분 하므로 삼각형 $\mathrm{OBM}$은 $\mathrm{\angle} BMO = 90 ^\circ$인 직각삼각형이다.

직각삼각형 $\mathrm{OBM}$에서 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} ^{2} = {\overline{OM}} ^{2} + {\overline{MB}} ^{2}$이므로 $\displaystyle 6 ^{2} = \mathrm{\overline{OM}} ^{2} + 4 ^{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OM}} ^{2}$$= 36 - 16$$= 20$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OM}} > 0$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OM}} = 2 \sqrt{5}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{MN}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{ON}} - \overline{OM}$$\displaystyle = 6 - 2 \sqrt{5}$($\mathrm{m}$) 따라서 $\displaystyle a = 6 - 2 \sqrt{5}$ [다른 풀이] 호 $\mathrm{AB}$를 포함한 원을 그리면 아래와 같다.

선분 $\mathrm{MN}$의 연장선과 이 원의 교점을 $\mathrm{C}$라 하면 원주각의 성질에 의해 $\angle \mathrm{CNA} = \angle CBA$, $\angle \mathrm{NAB} = \angle NCB$이므로 $\triangle {\mathrm{AMN} \backsim \triangle {\mathrm{CMB}}}$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} : \overline{\mathrm{MN}} = \overline{\mathrm{CM}} : \overline{\mathrm{MB}}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{MN}} \times \overline{\mathrm{CM}} = \overline{\mathrm{AM}} \times \overline{\mathrm{MB}}$ $a \left( 12 - a \right)$$= 4 \times 4$ $12 a - a ^{2} = 16$ $a ^{2} - 12 a + 16 = 0$ $\displaystyle a = 6 \pm 2 \sqrt{5}$ $a < 6$이므로 $\displaystyle a = 6 - 2 \sqrt{5}$