굴러가는 직각삼각형

[출제의도] 무리수에 대응하는 점을 수직선에 나타내고 그 점을 구한다.

직각삼각형 $\mathrm{ABC}$는 수직선을 따라 시계 방향으로 굴러가면서 다음 순서에 의하여 이동한다. ⅰ)직각삼각형 $\mathrm{ABC}$를 꼭짓점 $\mathrm{C}$를 중심으로 시계 방향으로 굴리면, 점 $\mathrm{C}$는 $2$에 대응하는 수직선 위의 점에 있고 선분 $\mathrm{CA}$의 길이가 $2$이므로 꼭짓점 $\mathrm{A}$는 $4$에 대응하는 수직선 위의 점으로 이동한다. ⅱ)ⅰ)의 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$를 꼭짓점 $\mathrm{A}$를 중심으로 시계 방향으로 굴리면, 점 $\mathrm{A}$는 $4$에 대응하는 수직선 위의 점에 있고 선분 $\mathrm{AB}$의 길이가 $\displaystyle \sqrt{5}$이므로 꼭짓점 $\mathrm{B}$는 $\displaystyle 4 + \sqrt{5}$에 대응하는 수직선 위의 점으로 이동한다. ⅲ)ⅱ)의 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$를 꼭짓점 $\mathrm{B}$를 중심으로 시계 방향으로 굴리면, 점 $\mathrm{B}$는 $\displaystyle 4 + \sqrt{5}$에 대응하는 수직선 위의 점에 있고 선분 $\mathrm{AB}$의 길이가 $1$이므로 꼭짓점 $\mathrm{C}$는 $\displaystyle 5 + \sqrt{5}$에 대응하는 수직선 위의 점으로 이동한다. 따라서 꼭짓점 $\mathrm{C}$가 수직선과 처음으로 다시 만나는 점의 좌표는 $\displaystyle 5 + \sqrt{5}$ [다른 풀이] 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$가 수직선을 따라 시계 방향으로 굴러가면서 이동할 때, 꼭짓점 $\mathrm{C}$가 수직선과 처음으로 다시 만나는 점의 좌표는 점 $\mathrm{C}$의 좌표에 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$의 둘레의 길이를 더한 것과 같다. 따라서 (점 $\mathrm{C}$의 좌표)$+$(직각삼각형 $\mathrm{ABC}$의 둘레의 길이) $\displaystyle = 2 + ( \sqrt{5} + 1 + 2 ) = 5 + \sqrt{5}$