구간 집합 보기

ㄱ. $A _{1} \cap A _{2} \cap A _{3}$ $= \left\{ x | 0 {\leq} x {\leq} 2 \right\} \cap \left\{ x | 1 {\leq} x {\leq} 3 \right\} \cap \left\{ x | 2 {\leq} x {\leq} 4 \right\}$ $= \left\{ 2 \right\}$ (참) ㄴ. $\left| l - m \right| {\leq} 2$를 만족시키는 $9$ 이하의 두 자연수 $l , m$에 대하여 $l {\leq} m$이라 하여도 일반성을 잃지 않는다. ⅰ) $\left| l - m \right| = 0$일 때 $m = l$이고 $A _{l} \cap A _{m} = A _{l} \ne \emptyset$ ⅱ) $\left| l - m \right| = 1$일 때 $m = l + 1$이고 $A _{l} \cap A _{m}$$= A _{l} \cap A _{l + 1}$ $= \left\{ x | l {\leq} x {\leq} l + 1 \right\} \ne \emptyset$ ⅲ) $\left| l - m \right| = 2$일 때 $m = l + 2$이고 $A _{l} \cap A _{m}$$= A _{l} \cap A _{l + 2}$$= \left\{ l + 1 \right\} \ne \emptyset$ ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 $9$ 이하의 두 자연수 $l , m$에 대하여 $\left| l - m \right| {\leq} 2$이면 두 집합 $A _{l}$과 $A _{m}$은 서로소가 아니다. (참) ㄷ. $9$ 이하인 자연수 $n$에 대하여 집합 $\left\{ p \right\} ( n - 1 {\leq} p {\leq} n + 1 )$이 $\left\{ p \right\} \cap A _{n} \ne \emptyset$을 만족시키므로 집합 $\left\{ p \right\}$는 $A _{n}$과 서로소가 아니고 원소의 개수가 최소인 집합이다. $8$ 이하인 자연수 $n$에 대하여 $A _{n} \cap A _{n + 1} = \left\{ x | n {\leq} x {\leq} n + 1 \right\}$이고 집합 $\left\{ p \right\} ( n {\leq} p {\leq} n + 1 )$이 $\left\{ p \right\} \cap ( A _{n} \cap A _{n + 1} ) \ne \emptyset$을 만족시키므로 집합 $\left\{ p \right\}$는 $A _{n} , A _{n + 1}$과 서로소가 아니고 원소의 개수가 최소인 집합이다. $7$ 이하인 자연수 $n$에 대하여 $A _{n} \cap A _{n + 1} \cap A _{n + 2} = \left\{ n + 1 \right\}$이고 $\left\{ n + 1 \right\} \cap ( A _{n} \cap A _{n + 1} \cap A _{n + 2} ) \ne \emptyset$이므로 집합 $\left\{ n + 1 \right\}$은 $A _{n} , A _{n + 1} , A _{n + 2}$와 서로소가 아니고 원소의 개수가 최소인 집합이다. $6$ 이하인 자연수 $n$에 대하여 $A _{n} \cap A _{n + 1} \cap A _{n + 2} \cap A _{n + 3} = \emptyset$이므로 $A _{n} , A _{n + 1} , A _{n + 2} , A _{n + 3}$과 서로소가 아닌 집합 중 원소의 개수가 $1$인 집합은 존재하지 않는다. $A _{1} \cap A _{2} \cap A _{3} = \left\{ 2 \right\}$ $A _{2} \cap A _{3} \cap A _{4} = \left\{ 3 \right\}$ $A _{3} \cap A _{4} \cap A _{5} = \left\{ 4 \right\}$ ⋮ $A _{7} \cap A _{8} \cap A _{9} = \left\{ 8 \right\}$ $X = \left\{ 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 \right\}$이라 하면 집합 $X$는 모든 $A _{k}$와 서로소가 아니고 원소가 유한개인 집합 중 원소의 개수가 최고인 집합을 $B$라 하면 $B \subset X$ $2 \notin B$이면 $A _{1} \cap B = \emptyset$이므로 $2 \in B$이어야 한다. $8 \notin B$이면 $A _{9} \cap B = \emptyset$이므로 $8 \in B$이어야 한다. $\left\{ 2 , 8 \right\} \cap A _{4} = \emptyset$, $\left\{ 2 , 8 \right\} \cap A _{5} = \emptyset$, $\left\{ 2 , 8 \right\} \cap A _{6} = \emptyset$이고 $A _{4} \cap A _{5} \cap A _{6} = \left\{ 5 \right\}$이므로 $5 \in B$이어야 한다. $B = \left\{ 2 , 5 , 8 \right\}$에 대하여 집합 $B$의 원소의 개수는 $3$이고 집합 $B$의 모든 $A _{k}$와 서로소가 아니다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ