구 속 두 원뿔 부피

[출제의도] 입체도형의 성질과 피타고라스 정리를 이용하여 문제를 해결한다.

구의 중심 $\mathrm{O}$를 지나고 두 단면 $A$, $B$에 수직인 직선이 두 단면 $A$, $B$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$라 하자. 조건에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} : \overline{\mathrm{OQ}} = 1 : 2$ $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = h$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}} = 2 h$ 단면 $A$와 구가 만나는 점 중 하나를 $\mathrm{R}$, 단면 $B$와 구가 만나는 점 중 하나를 $\mathrm{S}$라 하자. 두 단면 $A$, $B$는 서로 평행이고, 두 선분 $\mathrm{OP}$, $\mathrm{OQ}$가 두 단면 $A$, $B$와 수직이므로 두 삼각형 $\mathrm{OPR}$, $\mathrm{OQS}$는 모두 직각삼각형이다. 피타고라스 정리에 의하여 삼각형 $\mathrm{OPR}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{OR}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{OP}}} ^{2}$$= 100 ^{2} - h ^{2}$ 삼각형 $\mathrm{OQS}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QS}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{OS}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{OQ}}} ^{2}$$= 100 - ( 2 h ) ^{2}$$= 100 - 4 h ^{2}$ 따라서 단면 $A$의 넓이는 $\pi ( 100 - h ^{2} )$ 단면 $B$의 넓이는 $\pi ( 100 - 4 h ^{2} )$ 두 원뿔의 밑면의 넓이의 비가 $41 : 14$이므로 $\pi ( 100 - h ^{2} ) : \pi ( 100 - 4 h ^{2} ) = 41 : 14$ $41 ( 100 - 4 h ^{2} ) = 14 ( 100 - h ^{2} )$ $150 h ^{2} = 2700$ $h ^{2} = 18$ $\displaystyle h = 3 \sqrt{2}$ 단면 $A$를 밑면으로 하는 원뿔의 부피는 $\displaystyle \frac{1}{3} h ( 100 - h ^{2} ) \pi$$\displaystyle = \frac{1}{3} \times 3 \sqrt{2} \times ( 100 - 18 ) \pi$$\displaystyle = 82 \sqrt{2} \pi$ 단면 $B$를 밑면으로 하는 원뿔의 부피는 $\displaystyle \frac{1}{3} \times 2 h ( 100 - 4 h ^{2} ) \pi$$\displaystyle = \frac{1}{3} \times 6 \sqrt{2} \times ( 100 - 72 ) \pi$$\displaystyle = 56 \sqrt{2} \pi$ 그러므로 두 원뿔의 부피의 합은 $\displaystyle 82 \sqrt{2} \pi + 56 \sqrt{2} \pi = 138 \sqrt{2} \pi$ 따라서 $k = 138$