곱셈에 닫힌 유한집합

[출제의도] 주어진 조건을 만족하는 집합 구하기 ㄱ. 반례 : $A = \left\{ 0 , 1 \right\}$ (거짓) ㄴ. 집합 $A$가 곱셈에 대하여 닫혀 있으므로 $a \in A$이면 $a ^{2} \in A , a ^{3} \in A , a ^{4} \in A$, … 만약, $0 < \left| a \right| < 1$ 또는 $\left| a \right| > 1$이면 $a , a ^{2} , a ^{3} , a ^{4} , \cdots$은 서로 다르므로 집합 $A$는 유한집합이 될 수 없다. 따라서 $\left| a \right| = 0$ 또는 $\left| a \right| = 1$ 즉, 집합 $A$의 원소가 될 수 있는 수는 $- 1 , 0 , 1$뿐이고, 집합 $\left\{ - 1 , 0 , 1 \right\}$이 집합 $A$가 될 수 있으므로 $n ( A )$의 최댓값은 $3$ (참) ㄷ. ㄴ에서 집합 $A$의 원소가 될 수 있는 수는 $- 1 , 0 , 1$뿐이므로 곱셈에 대하여 닫혀 있는 집합 $A$는 $\left\{ 0 \right\} , \left\{ 1 \right\} , \left\{ 0 , 1 \right\} , \left\{ - 1 , 1 \right\} , \left\{ - 1 , 0 , 1 \right\}$중의 하나이다. 따라서 집합 $A$의 개수는 $5$ (참)