곱셈에 닫힌 집합

[출제의도] 닫혀 있음을 이해하기 ㄱ. $\left\{ - 1 , 0 , 1 \right\}$ 이므로 곱셈에 대하여 닫혀 있다. ㄴ. (반례) $\displaystyle x = 2 \sqrt{2} , y = 3 \sqrt{2}$라 하면, $xy = 12$ $\therefore$ 곱셈에 대하여 닫혀 있지 않다. ㄷ. $x = a ^{2} - b ^{2} , y = c ^{2} - d ^{2}$이라 하면, $xy = ( a ^{2} - b ^{2} ) ( c ^{2} - d ^{2} )$ $= ( a ^{2} c ^{2} + b ^{2} d ^{2} ) - ( a ^{2} d ^{2} + b ^{2} c ^{2} )$ $= ( a ^{2} c ^{2} + b ^{2} d ^{2} ) - ( a ^{2} d ^{2} + b ^{2} c ^{2} )$$+ 2 abcd - 2 abcd$ $= ( ac + bd ) ^{2} - ( ad + bc ) ^{2}$ $\therefore$ 곱셈에 대하여 닫혀 있다.