공통수학2집합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

곱셈에 닫힌 집합

문제

<보기>의 집합 중 곱셈에 대하여 닫혀 있는 집합을 모두 고른 것은? [3점]

<보 기>
ㄱ. {1n∣n은자연수}\displaystyle \left\{ \frac{1}{n} | n \text{은} \text{자연수} \right\} ㄴ. {2k+1∣k는정수}\left\{ 2 k + 1 | k \text{는} \text{정수} \right\} ㄷ. {a+bπ∣a,b는유리수,π는원주율}\left\{ a + b \pi | a , b \text{는} \text{유리수} , \pi \text{는} \text{원주율} \right\}

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 닫혀있음을 이해하기 ㄱ. A={1n∣n은자연수}\displaystyle A = \left\{ \frac{1}{n} | n \text{은} \text{자연수} \right\} 1a,1b∈A\displaystyle \frac{1}{a} , \frac{1}{b} \in A일 때, 1ab∈A\displaystyle \frac{1}{ab} \in A이므로 곱셈에 대하여 닫혀있다. ㄴ. 홀수의 곱은 홀수이므로 곱셈에 대하여 닫혀있다. ㄷ. (3+π)(13+π)=1+103π+π2\displaystyle \left( 3 + \pi \right) \left( \frac{1}{3} + \pi \right) = 1 + \frac{10}{3} \pi + \pi ^{2} ∉{a+bπ∣a,b는유리수,π는원주율}\notin \left\{ a + b \pi | a , b \text{는} \text{유리수} , \pi \text{는} \text{원주율} \right\} 이므로 곱셈에 대하여 닫혀있지 않다. ∴ ㄱ, ㄴ

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#연산에 닫힘#보기

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