곱이 60의 배수

[출제의도] 중복조합을 활용하여 추론하기 자연수 $2$, $3$, $5$, $7$이 선택되어진 개수를 각각 $a$, $b$, $c$, $d$라 하면 $a + b + c + d = 8$ (단, $a$, $b$, $c$, $d$는 음이 아닌 정수) $8$개의 수의 곱은 $2 ^{a} \times 3 ^{b} \times 5 ^{c} \times 7 ^{d} = 60 k$ (단, $k$는 자연수) $2 ^{a} \times 3 ^{b} \times 5 ^{c} \times 7 ^{d} = \left( 2 ^{2} \times 3 \times 5 \right) \times k$이므로 $a \geq 2$, $b \geq 1$, $c \geq 1$, $d \geq 0$ $a' = a - 2$, $b' = b - 1$, $c' = c - 1$, $d' = d$라 하면 $a' + b' + c' + d' = 4$ (단, $a'$, $b'$, $c'$, $d'$은 음이 아닌 정수) 순서쌍 $\left( a , b , c , d \right)$의 개수는 순서쌍 $\left( a' , b' , c' , d' \right)$의 개수와 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 $\mathrm{\mathrm{\mathit{_{4}}}} H _{4} = _{7} C _{4} = 35$