공통수학2집합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

공약수 개수로 정한 집합

문제

두 자연수 $a , b$ 의 공약수 개수를 $N ( a , b )$ 라 하자. 전체집합 $U = \{ x | x$ 는 $100$ 이하의 자연수 $\}$ 의 부분집합 $A _{k} ( a )$ 를 $A _{k} ( a ) = \{ x | N ( a , x ) = k \}$ 라 할 때, <보기>에서 옳은 내용만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>

	ㄱ. $4 \in A _{1} ( 3 )$ ㄴ. 집합 $A _{3} ( 4 )$ 의 원소의 개수는 $23$ 개이다. ㄷ. $a$ 가 소수이면 집합 $A _{2} ( a )$ 의 원소의 개수는 $\displaystyle \left[ \frac{100}{a} \right]$ 개이다. (단, $[ x ]$ 는 $x$ 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 공약수를 구하여 원소의 개수 추론하기 ㄱ. $A _{1} ( 3 ) = \{ x | N ( 3 , x ) = 1 \}$ 이고 $3$ 과 $4$ 는 서로소이므로 공약수의 개수가 $1$ 개이다. (참) ㄴ. $A _{3} ( 4 ) = \{ x | N ( 4 , x ) = 3 \}$ 이고 $4$ 의 약수의 개수가 $3$ 개이므로 $A _{3} ( 4 )$ 는 $4$ 의 배수의 집합이다. $\therefore n ( A _{3} ( 4 ) ) = 25$ (거짓) ㄷ. $A _{2} ( a ) = \{ x | N ( a , x ) = 2 \}$ 이므로 $a$ 가 소수이면 약수의 개수가 $2$ 개이므로 $A _{2} ( a )$ 는 $a$ 의 배수의 집합이다. $\displaystyle \therefore n ( A _{2} ( a ) ) = \left[ \frac{100}{a} \right]$ (참)

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