공통인수와 인수분해

$a$, $c$가 자연수이고, $x + c$가 $x ^{2} + ax + 27$의 인수이므로 $c$는 $27$의 약수이다. $b$, $c$가 자연수이고, $x + c$가 $x ^{2} + bx - 18$의 인수이므로 $c$는 $18$의 약수이다. 즉, $c$가 $27$과 $18$의 공약수이므로 $c$는 $27$과 $18$의 최대공약수인 $9$의 약수이다. (ⅰ) $c = 1$일 때 $x ^{2} + ax + 27 = \left( x + 1 \right) \left( x + 27 \right)$에서 $a = 1 + 27 = 28$ $x ^{2} + bx - 18 = \left( x + 1 \right) \left( x - 18 \right)$에서 $b = 1 + \left( - 18 \right) = - 17$ 이때 $b$는 자연수가 아니다. (ⅱ) $c = 3$일 때 $x ^{2} + ax + 27 = \left( x + 3 \right) \left( x + 9 \right)$에서 $a = 3 + 9 = 12$ $x ^{2} + bx - 18 = \left( x + 3 \right) \left( x - 6 \right)$에서 $b = 3 + \left( - 6 \right) = - 3$ 이때 $b$는 자연수가 아니다. (ⅲ) $c = 9$일 때 $x ^{2} + ax + 27 = \left( x + 9 \right) \left( x + 3 \right)$에서 $a = 9 + 3 = 12$ $x ^{2} + bx - 18 = \left( x + 9 \right) \left( x - 2 \right)$에서 $b = 9 + \left( - 2 \right) = 7$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $a = 12$, $b = 7$, $c = 9$ 따라서 $a + b + c = 12 + 7 + 9 = 28$