공과 동전 조건부확률

[출제의도] 조건부 확률을 활용하여 문제해결하기 주머니에서 임의로 $2$개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는 ${} _{4} \mathrm{C} _{2} = 6$ 꺼낸 $2$개의 공에 적혀 있는 숫자의 합이 소수인 경우는 ($1$과 $2$), ($1$과 $4$), ($2$와 $3$), ($3$과 $4$) $4$가지이다. 주머니에서 임의로 $2$개의 공을 동시에 꺼냈을 때, 적혀 있는 숫자의 합이 소수일 확률은 $\displaystyle \frac{2}{3}$이다. 동전의 앞면이 $2$번 나오는 사건을 $X$, 꺼낸 $2$개의 공에 적혀 있는 숫자의 합이 소수인 사건을 $Y$라 하자. $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( X \right)} = \frac{2}{3} \times _{2} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{1}{3} \times _{3} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \left( \frac{1}{2} \right)$ $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( X \cap Y \right)} = \frac{2}{3} \times _{2} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}$ $\mathrm{P} \mathit{\left( Y | X \right)}$$\displaystyle = \frac{\mathrm{P} \mathit{\left( X \cap Y \right)}}{\mathrm{P} \mathit{\left( X \right)}}$ $\displaystyle = \frac{\frac{2}{3} \times _{2} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}}{\frac{2}{3} \times _{2} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{1}{3} \times _{3} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} \left( \frac{1}{2} \right) ^{2} \left( \frac{1}{2} \right)}$ $\displaystyle = \frac{4}{7}$