공 상자 나누기

조건 (가)에 의하여 빈 상자 $4$개에 검은 공 $4$개를 남김없이 나누어 넣는 경우는 상자 $1$개에 $4$개 모두 넣는 경우, 상자 $2$개에 각각 $3$개, $1$개 넣는 경우, 상자 $2$개에 $2$개씩 넣는 경우이다. (ⅰ) 검은 공 $4$개를 상자 $1$개에 모두 넣는 경우 검은 공을 넣을 상자 $1$개를 고르는 경우의 수는 $\mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 4$ ① 검은 공이 들어 있는 상자에 흰 공을 넣지 않고 빈 상자 $3$개에 흰 공 $6$개를 남김없이 넣는 경우의 수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{6}} = \mathit{_{8}} {\mathrm{C}} \mathit{_{6}} = 28$ ② 검은 공이 들어 있는 상자에 흰 공 $1$개를 넣는 경우의 수는 $\mathit{_{1}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 1$ 남은 흰 공 $5$개를 빈 상자 $3$개에 남김없이 넣는 경우의 수는 $\mathit{_{3}} {\mathrm{H}} \mathit{_{5}} = \mathit{_{7}} {\mathrm{C}} \mathit{_{5}} = 21$ ①, ②에 의하여 조건을 만족시키는 경우의 수는 $4 \times \left( 28 + 1 \times 21 \right) = 196$ (ⅱ) 검은 공 $4$개를 상자 $2$개에 각각 $3$개, $1$개 넣는 경우 검은 공 $3$개를 넣을 상자 $1$개, 검은 공 $1$개를 넣을 상자 $1$개를 고르는 경우의 수는 $\mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} \times \mathit{_{3}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 12$ ① 검은 공이 들어 있는 상자 $2$개에 모두 흰 공을 넣지 않고 빈 상자 $2$개에 흰 공 $6$개를 남김없이 넣는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} {\mathrm{H}} \mathit{_{6}} = \mathit{_{7}} {\mathrm{C}} \mathit{_{6}} = 7$ ② 검은 공이 들어 있는 상자 $2$개 중 상자 $1$개에만 흰 공 $1$개를 넣는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 2$ 남은 흰 공 $5$개를 빈 상자 $2$개에 남김없이 넣는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} {\mathrm{H}} \mathit{_{5}} = \mathit{_{6}} {\mathrm{C}} \mathit{_{5}} = 6$ ③ 검은 공이 들어 있는 상자 $2$개에 각각 흰 공을 $1$개씩 넣는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} = 1$ 남은 흰 공 $4$개를 빈 상자 $2$개에 남김없이 넣는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} {\mathrm{H}} \mathit{_{4}} = \mathit{_{5}} {\mathrm{C}} \mathit{_{4}} = 5$ ①, ②, ③에 의하여 조건을 만족시키는 경우의 수는 $12 \times \left( 7 + 2 \times 6 + 1 \times 5 \right) = 288$ (ⅲ) 검은 공 $4$개를 상자 $2$개에 $2$개씩 넣는 경우 검은 공을 넣을 상자 $2$개를 고르는 경우의 수는 $\mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} = 6$ ① 검은 공이 들어 있는 상자 $2$개에 모두 흰 공을 넣지 않고 빈 상자 $2$개에 흰 공 $6$개를 남김없이 넣는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} {\mathrm{H}} \mathit{_{6}} = \mathit{_{7}} {\mathrm{C}} \mathit{_{6}} = 7$ ② 검은 공이 들어 있는 상자 $2$개 중 상자 $1$개에만 흰 공 $1$개를 넣는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} {\mathrm{C}} \mathit{_{1}} = 2$ 남은 흰 공 $5$개를 빈 상자 $2$개에 남김없이 넣는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} {\mathrm{H}} \mathit{_{5}} = \mathit{_{6}} {\mathrm{C}} \mathit{_{5}} = 6$ ③ 검은 공이 들어 있는 상자 $2$개에 각각 흰 공을 $1$개씩 넣는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} = 1$ 남은 흰 공 $4$개를 빈 상자 $2$개에 남김없이 넣는 경우의 수는 $\mathit{_{2}} {\mathrm{H}} \mathit{_{4}} = \mathit{_{5}} {\mathrm{C}} \mathit{_{4}} = 5$ ①, ②, ③에 의하여 조건을 만족시키는 경우의 수는 $6 \times \left( 7 + 2 \times 6 + 1 \times 5 \right) = 144$ 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $196 + 288 + 144 = 628$