확률과 통계조건부확률수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

공 꺼내기 조건부확률

문제

검은 공 44개, 흰 공 22개가 들어 있는 주머니에 대하여 다음 시행을 22회 반복한다.

주머니에서 임의로 33개의 공을 동시에 꺼낸 후, 꺼낸 공 중에서 흰 공은 다시 주머니에 넣고 검은 공은 다시 넣지 않는다.

두 번째 시행의 결과 주머니에 흰 공만 22개 들어 있을 때, 첫 번째 시행의 결과 주머니에 들어 있는 검은 공의 개수가 22일 확률은 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

두 번 시행 후 주머니에 흰 공만 22개가 들어 있는 확률은 다음과 같이 분류할 수 있다. (ⅰ) 첫 번째 시행에 검은 공 33개, 두 번째 시행에 검은 공 11개, 흰색 공 22개를 뽑는 경우 첫 번째 시행 후 남아 있는 공은 검은 공 11개, 흰색 공 22개다. 4C36C3⋅1C1⋅2C23C3\displaystyle \frac{{} _{4} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}}}{{} _{6} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}}} \cdot \frac{{} _{1} \mathrm{C} \mathit{_{1}} \cdot _{2} \mathrm{C} \mathit{_{2}}}{{} _{3} \mathrm{C} _{3}}=15\displaystyle = \frac{1}{5} (ⅱ) 첫 번째 시행에 검은 공 22개, 흰색 공 11개를 뽑고 두 번째 시행에 검은 공 22개, 흰색 공 11개를 뽑는 경우 첫 번째 시행 후 남아 있는 공은 검은 공 22개, 흰색 공 22개다. 4C2⋅2C16C3⋅2C2⋅2C14C3\displaystyle \frac{{} _{4} {\mathrm{C}} _{2} \cdot _{2} {\mathrm{C}} _{1}}{{} _{6} {\mathrm{C}} _{3}} \cdot \frac{{} _{2} {\mathrm{C}} _{2} \cdot _{2} {\mathrm{C}} _{1}}{{} _{4} {\mathrm{C}} _{3}}=310\displaystyle = \frac{3}{10} (ⅲ) 첫 번째 시행에 검은 공 11개, 흰색 공 22개를 뽑고, 두 번째 시행에 검은 공 33개를 뽑는 경우 첫 번째 시행 후 남아 있는 공은 검은 공 33개, 흰색 공 22개다. 4C1⋅2C26C3⋅3C35C3\displaystyle \frac{{} _{4} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{1}}} \cdot _{2} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}}}{{} _{6} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}}} \cdot \frac{{} _{3} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}}}{{} _{5} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}}}=150\displaystyle = \frac{1}{50} 따라서 구하고자 하는 확률은 31015+310+150\displaystyle \frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{5} + \frac{3}{10} + \frac{1}{50}}=3020+30+2\displaystyle = \frac{30}{20 + 30 + 2}=1526\displaystyle = \frac{15}{26} 따라서 p=26,q=15p = 26 , q = 15이므로 p+q=41p + q = 41

태그

#조건부확률#시행

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