공 꺼내기 조건부확률

출제의도 : 조건부확률을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 확률을 구할 수 있는가? 갑은 주머니 $A$에서, 을은 주머니 $B$에서 각자 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적힌 수를 확인한 후 자신이 꺼낸 주머 니에 다시 넣는 시행을 두 번 반복할 때, 갑이 확인한 두 수의 합이 을이 확 인한 두 수의 합보다 큰 사건을 $X$, 갑이 확인 한 두 수의 합이 $5$인 사건을 $Y$라 하면 구하는 확률은 $\mathrm{P} ( Y | X )$이다. 갑이 확인한 두 수의 합이 을이 확인한 두 수의 합보다 크려면 갑이 확인한 두 수의 합이 $3$또는 $4$또는 $5$또는 $6$인 경우이다. (ⅰ) 갑이 확인한 두 수의 합이 $3$인 경우 갑이 확인한 두 수의 합은 $3$이고 을이 확인한 두 수의 합은 $2$이어야 한다. 갑이 확인한 두 수의 합이 $3$인 경우는 갑이 확인한 두 수가 순서대로 $1$, $2$ 또 는 $2$, $1$일 때이므로 갑이 확인한 두 수의 합이 $3$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ 을이 확인한 두 수의 합이 $2$인 경우는 을이 확인한 두 수가 순서대로 $1$, $1$일 때이므로 을이 확인한 두 수의 합이 $2$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$ 따라서 갑이 확인한 두 수의 합이 $3$이고 을이 확인한 두 수의 합이 $2$일 확률은 $\displaystyle \frac{2}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{2}{81}$ (ⅱ) 갑이 확인한 두 수의 합이 $4$인 경우 갑이 확인한 두 수의 합은 $4$이고 을이 확인한 두 수의 합은 $2$또는 $3$이어야 한다. 갑이 확인한 두 수의 합이 $4$인 경우는 갑이 확인한 두 수가 순서대로 $1$, $3$또는 $2$, $2$ 또는 $3$, $1$일 때이므로 갑이 확인한 두 수의 합이 $4$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{9}$ 을이 확인한 두 수의 합이 $2$ 또는 $3$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9}$ 따라서 갑이 확인한 두 수의 합은 $4$이고 을이 확인한 두 수의 합은 $2$ 또는 $3$일 확률은 $\displaystyle \frac{3}{9} \times \frac{3}{9} = \frac{9}{81}$ (ⅲ) 갑이 확인한 두 수의 합이 $5$인 경우 갑이 확인한 두 수의 합은 $5$이고 을이 확인한 두 수의 합은 $2$ 또는 $3$ 또는 $4$이어야 한다. 갑이 확인한 두 수의 합이 $5$인 경우는 갑이 확인한 두 수가 순서대로 $2$, $3$ 또 는 $3$, $2$일 때이므로 갑이 확인한 두 수의 합이 $5$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ 을이 확인한 두 수의 합이 $2$ 또는 $3$ 또는 $4$ 일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{3}{9} = \frac{6}{9}$ 따라서 갑이 확인한 두 수의 합은 $5$이고 을이 확인한 두 수의 합은 $2$ 또는 $3$ 또 는 $4$ 일 확률은 $\displaystyle \frac{2}{9} \times \frac{6}{9} = \frac{12}{81}$ (ⅳ) 갑이 확인한 두 수의 합이 $6$인 경우 갑이 확인한 두 수의 합은 $6$이고 을이 확인한 두 수의 합은 $2$ 또는 $3$ 또는 $4$ 또는 $5$ 이어야 한다. 갑이 확인한 두 수의 합이 $6$인 경우는 갑이 확인한 두 수가 순서대로 $3$, $3$일 때이므로 갑이 확인한 두 수의 합이 $6$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$ 을이 확인한 두 수의 합이 $2$ 또는 $3$ 또 는 $4$ 또는 $5$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{3}{9} + \frac{2}{9} = \frac{8}{9}$ 따라서 갑이 확인한 두 수의 합은 $6$이고 을이 확인한 두 수의 합은 $2$ 또는 $3$ 또는 $4$ 또는 $5$일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{9} \times \frac{8}{9} = \frac{8}{81}$ (i) ~ (iv)에서 $\mathrm{P} \mathit{(} X )$$\displaystyle = \frac{2}{81} + \frac{9}{81} + \frac{12}{81} + \frac{8}{81}$$\displaystyle = \frac{31}{81}$ $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} X \cap Y ) = \frac{12}{81}$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} Y | X ) = \frac{\mathrm{P} \mathit{(} X \cap Y )}{\mathrm{P} \mathit{(} X )}$$\displaystyle = \frac{\frac{12}{81}}{\frac{31}{81}}$$\displaystyle = \frac{12}{31}$ 따라서 $p = 31$, $q = 12$이므로 $p + q = 31 + 12$$= 43$