기함수 다항함수 극한

[출제의도] 도함수의 성질을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기 두 함수 $f \left( x \right)$, $g \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 $1$이고 $f \left( - x \right) = - f ( x )$, $g \left( - x \right) = - g ( x )$이므로 두 다항함수 $f \left( x \right)$, $g \left( x \right)$의 모든 항의 차수는 홀수이다. 두 홀수 $m$, $n$에 대하여 두 함수 $f \left( x \right)$, $g \left( x \right)$의 최고차항을 각각 $x ^{m}$, $x ^{n}$이라 하면, 두 도함수 $f' \left( x \right)$, $g' \left( x \right)$의 최고차항은 각각 $mx ^{m - 1}$, $nx ^{n - 1}$이다. $m - 1 = 2 + \left( n - 1 \right)$이고 $\displaystyle \frac{m}{n} = 3$ 그러므로 $m = 3$, $n = 1$ $f \left( x \right) = x ^{3} + ax$$($$a$는 상수$)$, $g \left( x \right) = x$라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{f \left( x \right) g \left( x \right)}{x ^{2}}} = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{\left( x ^{3} + ax \right) x}{x ^{2}}}$$= a = - 1$ $f \left( x \right) = x ^{3} - x$, $g \left( x \right) = x$ 따라서 $f \left( 2 \right) + g \left( 3 \right) = 6 + 3 = 9$