미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

급수 수렴과 극한 조건

문제

다음 두 조건을 만족시키는 모든 정수 rr의 값의 합을 구하시오. [4점]

(가) 무한급수 ∑n=1∞(r−58)n\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{r - 5}{8} \right) ^{n}이 수렴한다. (나) lim⁡n→∞rn+1−7n+2rn+7n+1+2n−1=−17\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{r ^{n + 1} - 7 ^{n} + 2}{r ^{n} + 7 ^{n + 1} + 2 ^{n - 1}} = - \frac{1}{7}}

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해설

[출제의도] 무한등비급수의 수렴조건과 수열의 극한에 대한 성질을 알고 있는가를 묻는 문제이다. 무한급수 ∑n=1∞(r−58)n\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( \frac{r - 5}{8} \right) ^{n}이 수렴하려면 −1<r−58<1\displaystyle - 1 < \frac{r - 5}{8} < 1이므로 −3<r<13- 3 < r < 13 (ⅰ) −3<r<7- 3 < r < 7일 때, lim⁡n→∞rn+1−7n+2rn+7n+1+2n−1=lim⁡n→∞r(r7)n−1+27n(r7)n+7+12(27)n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{r ^{n + 1} - 7 ^{n} + 2}{r ^{n} + 7 ^{n + 1} + 2 ^{n - 1}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{r \left( \frac{r}{7} \right) ^{n} - 1 + \frac{2}{7 ^{n}}}{\left( \frac{r}{7} \right) ^{n} + 7 + \frac{1}{2} \left( \frac{2}{7} \right) ^{n}}}} =−17\displaystyle = - \frac{1}{7} (ⅱ) r=7r = 7일 때, lim⁡n→∞7n+1−7n+27n+7n+1+2n−1=lim⁡n→∞6×7n+28×7n+2n−1=34\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{7 ^{n + 1} - 7 ^{n} + 2}{7 ^{n} + 7 ^{n + 1} + 2 ^{n - 1}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{6 \times 7 ^{n} + 2}{8 \times 7 ^{n} + 2 ^{n - 1}} = \frac{3}{4} (ⅲ) 7<r<137 < r < 13일 때, lim⁡n→∞r−(7r)n+2rn1+7(7r)n+12(2r)n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{r - \left( \frac{7}{r} \right) ^{n} + \frac{2}{r ^{n}}}{1 + 7 \left( \frac{7}{r} \right) ^{n} + \frac{1}{2} \left( \frac{2}{r} \right) ^{n}}=r= r (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 −3<r<7- 3 < r < 7 따라서 모든 정수 rr의 값의 합은 1818이다.

태그

#등비급수#수열의 극한

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