미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

근의 극한

문제

자연수 nn에 대하여 xx에 대한 이차방정식 x2+2nx−4n=0x ^{2} + 2 n x - 4 n = 0 의 양의 실근을 ana _{n}이라 하자. lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n}의 값을 구하시오. [3점]

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해설

주어진 이차방정식의 양의 실근 ana _{n}을 구하면 an=−n+n2+4n\displaystyle a _{n} = - n + \sqrt{n ^{2} + 4 n}이다. ∴lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞(−n+n2+4n)=lim⁡n→∞4nn+n2+4n=2\displaystyle \therefore \lim\limits _{n\rightarrow \infty} {a _{n}} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} ( - n + \sqrt{n ^{2} + 4 n} ) = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{4 n}{n + \sqrt{n ^{2} + 4 n}} = 2

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