근호 곱 자연수

[출제의도] 약수와 배수의 성질을 이용하여 약수 구하기 $\displaystyle \sqrt{24 m} \sqrt{45 n} = \sqrt{2 ^{3} \times 3 ^{3} \times 5 \times m \times n}$이 자연수이기 위해서는 $2 ^{3} \times 3 ^{3} \times 5 \times m \times n$이 완전제곱수이므로 $mn = 2 \times 3 \times 5 \times k ^{2}$의 꼴에서 $k = 1$일 때, 최솟값을 갖는다. 그러므로, $mn = 30$인 자연수의 순서쌍 $\left( m , n \right)$은 $\left( 1 , 30 \right) , \left( 2 , 15 \right) , \left( 3 , 10 \right) , \left( 5 , 6 \right) , \left( 6 , 5 \right) , \left( 10 , 3 \right) , \left( 15 , 2 \right) , \left( 30 , 1 \right)$ 따라서, $m + n$의 최솟값은 $11$