근호 등식 자연수

[출제의도] 무리식이 서로 같음을 이용하여 $\mathbf{b}$의 최댓값을 구한다. $\displaystyle a - 1 - b = 2 \sqrt{b}$에서 $a$, $b$가 자연수이므로 $a - 1 - b$는 정수이다. 따라서 $\displaystyle \sqrt{b}$도 정수이므로 $b$는 제곱수이다. $50$이하의 제곱수는 $1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49$이다. $b$의 최댓값을 구하기 위해 큰 수부터 대입해보면 (ⅰ) $b = 49$인 경우 $\displaystyle a - 1 - 49 = 2 \sqrt{49} = 14$ ∴ $a = 64$ $a$가 $50$이하이므로 $b \ne 49$ (ⅱ) $b = 36$인 경우 $\displaystyle a - 1 - 36 = 2 \sqrt{36} = 12$ ∴ $a = 49$ 따라서 $b$의 최댓값은 $36$