극한의 성질

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해하여 수열의 극한값을 구한다. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( n ^{2} + 1 \right) a _{n}} = 3$, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 4 n ^{2} + 1 \right) \left( a _{n} + b _{n} \right)} = 1$에서 $c _{n} = ( n ^{2} + 1 ) a _{n}$, $d _{n} = ( 4 n ^{2} + 1 ) ( a _{n} + b _{n} )$이라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {c _{n}} = 3$, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {d _{n}} = 1$이고 $\displaystyle a _{n} = \frac{c _{n}}{n ^{2} + 1}$, $\displaystyle b _{n} = \frac{d _{n}}{4 n ^{2} + 1} - \frac{c _{n}}{n ^{2} + 1}$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {( 2 n ^{2} + 1 ) ( a _{n} + 2 b _{n} )}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 2 n ^{2} + 1 \right)} \left( \frac{2 d _{n}}{4 n ^{2} + 1} - \frac{c _{n}}{n ^{2} + 1} \right)$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ \frac{2 \left( 2 n ^{2} + 1 \right)}{4 n ^{2} + 1} \times d _{n} - \frac{2 n ^{2} + 1}{n ^{2} + 1} \times c _{n} \right\}}$ $= 1 \times 1 - 2 \times 3$$= \mathit{-} 5$