미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극한의 성질

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}에 대하여 limn(3n+2)an=6\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( 3 n + 2 \right) a _{n} = 6, limnbnn=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{b _{n}}{n} = 2 일 때, limnanbn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} b _{n}의 값은? [3점] 1122334455

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해설

limnanbn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} b _{n}=limn{(3n+2)an×bnn×n3n+2}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left\{ \left( 3 n + 2 \right) a _{n} \times \frac{b _{n}}{n} \times \frac{n}{3 n + 2} \right\} =limn(3n+2)an×limnbnn×limn13+2n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( 3 n + 2 \right) a _{n} \times \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{b _{n}}{n} \times \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{3 + \frac{2}{n}} =6×2×13=4\displaystyle = 6 \times 2 \times \frac{1}{3} = 4

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