미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극한의 성질

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 lim⁡n→∞(2n+3)ann2=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\left( 2 n + 3 \right) a _{n}}{n ^{2}} = 3일 때, lim⁡n→∞nan3n2+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{na _{n}}{3 n ^{2} + 1}의 값은? [3점] ①16\displaystyle \frac{1}{6}②13\displaystyle \frac{1}{3}③12\displaystyle \frac{1}{2}④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤56\displaystyle \frac{5}{6}

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③

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해설

lim⁡n→∞(2n+3)ann2=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\left( 2 n + 3 \right) a _{n}}{n ^{2}} = 3이므로 lim⁡n→∞nan3n2+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{na _{n}}{3 n ^{2} + 1}=lim⁡n→∞{(2n+3)ann2×n3(2n+3)(3n2+1)}\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left\{ \frac{\left( 2 n + 3 \right) a _{n}}{n ^{2}} \times \frac{n ^{3}}{\left( 2 n + 3 \right) \left( 3 n ^{2} + 1 \right)} \right\} =lim⁡n→∞(2n+3)ann2×lim⁡n→∞1(2+3n)(3+1n2)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\left( 2 n + 3 \right) a _{n}}{n ^{2}} \times \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\left( 2 + \frac{3}{n} \right) \left( 3 + \frac{1}{n ^{2}} \right)} =3×16=12\displaystyle = 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2}

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#수열의 극한의 성질

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