미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극한의 성질

문제

함수 f(x)f \left( x \right)가 lim⁡x→1(x+1)f(x)=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\left( x + 1 \right) f \left( x \right)} = 1을 만족시킬 때, lim⁡x→1(2x2+1)f(x)=a\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\left( 2 x ^{2} + 1 \right) f \left( x \right)} = a 이다. 20a20 a의 값을 구하시오. [3점]

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30

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해설

[출제의도] 함수의 극한의 성질을 이용하여 함수의 극한을 구할 수 있는가? lim⁡x→1(x+1)f(x)=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {( x + 1 ) f ( x )} = 1이므로 g(x)=(x+1)f(x)g ( x ) = ( x + 1 ) f ( x )로 놓으면 lim⁡x→1g(x)=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {g ( x ) = 1} 따라서 x≠−1x \ne - 1일 때, f(x)=g(x)x+1\displaystyle f ( x ) = \frac{g ( x )}{x + 1}이므로 lim⁡x→1(2x2+1)f(x)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {( 2 x ^{2} + 1 ) f ( x )}=lim⁡x→1{(2x2+1)×g(x)x+1}\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\left\{ ( 2 x ^{2} + 1 ) \times \frac{g ( x )}{x + 1} \right\}} =lim⁡x→12x2+1x+1×lim⁡x→1g(x)\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{2 x ^{2} + 1}{x + 1} \times \lim\limits _{x \rightarrow 1} {g ( x )}} =32×1=32\displaystyle = \frac{3}{2} \times 1 = \frac{3}{2} 그러므로 20a=20×32=30\displaystyle 20 a = 20 \times \frac{3}{2} = 30

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#함수의 극한의 성질

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