미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극한의 대소 관계

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 3n−2n<an<3n+2n3 ^{n} - 2 ^{n} < a _{n} < 3 ^{n} + 2 ^{n} 을 만족시킬 때, lim⁡n→∞an3n+1+2n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{3 ^{n+1} + 2 ^{n}}}의 값은? [3점] ①16\displaystyle \frac{1}{6}②13\displaystyle \frac{1}{3}③12\displaystyle \frac{1}{2}④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤56\displaystyle \frac{5}{6}

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②

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해설

[출제의도] 수열의 극한의 대소 관계를 이해하여 수열의 극한값을 구한다. 3n−2n<an<3n+2n3 ^{n} - 2 ^{n} < a _{n} < 3 ^{n} + 2 ^{n}에서 3n−2n3n+1+2n<an3n+1+2n<3n+2n3n+1+2n\displaystyle \frac{3 ^{n} - 2 ^{n}}{3 ^{n + 1} + 2 ^{n}} < \frac{a _{n}}{3 ^{n + 1} + 2 ^{n}} < \frac{3 ^{n} + 2 ^{n}}{3 ^{n + 1} + 2 ^{n}} lim⁡n→∞3n−2n3n+1+2n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 ^{n} - 2 ^{n}}{3 ^{n + 1} + 2 ^{n}}}=lim⁡n→∞1−(23)n3+(23)n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1 - \left( \frac{2}{3} \right) ^{n}}{3 + \left( \frac{2}{3} \right) ^{n}}}=13\displaystyle = \frac{1}{3} lim⁡n→∞3n+2n3n+1+2n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 ^{n} + 2 ^{n}}{3 ^{n + 1} + 2 ^{n}}}=lim⁡n→∞1+(23)n3+(23)n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1 + \left( \frac{2}{3} \right) ^{n}}{3 + \left( \frac{2}{3} \right) ^{n}}}=13\displaystyle = \frac{1}{3} 따라서 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 lim⁡n→∞an3n+1+2n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{3 ^{n + 1} + 2 ^{n}}}=13\displaystyle = \frac{1}{3}

태그

#극한의 대소 관계#지수

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