미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극한값으로 극한 구하기

문제

두 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}, {bn}\left\{ b _{n} \right\}이 lim⁡n→∞nan=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} na _{n} = 1, lim⁡n→∞bnn=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{b _{n}}{n} = 3 을 만족시킬 때, lim⁡n→∞n2an+bn1+2bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{n ^{2} a _{n} + b _{n}}{1 + 2 b _{n}}의 값은? [3점] ①13\displaystyle \frac{1}{3}②12\displaystyle \frac{1}{2}③23\displaystyle \frac{2}{3}④56\displaystyle \frac{5}{6}⑤1\mathrm{1}

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③

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해설

lim⁡n→∞nan=1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} na _{n} = 1, lim⁡n→∞bnn=3\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{b _{n}}{n} = 3이므로 lim⁡n→∞n2an+bn1+2bn=lim⁡n→∞nan+bnn1n+2bnn=1+32×3=46=23\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{n ^{2} a _{n} + b _{n}}{1 + 2 b _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{na _{n} + \frac{b _{n}}{n}}{\frac{1}{n} + \frac{2 b _{n}}{n}} = \frac{1 + 3}{2 \times 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

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