극한으로 정의된 함수 합

[출제의도] 함수의 극한을 이용하여 수열 문제 해결하기 ⅰ) $0 < x < 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x ^{n}} = 0$이므로 $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{ax ^{n}}{1 + x ^{n}} = 0}$이다. ⅱ) $x = 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x ^{n}} = 1$이므로 $\displaystyle f ( 1 ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{ax ^{n}}{1 + x ^{n}}} = \frac{a}{2}$이다. ⅲ) $x > 1$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{x ^{n}} = 0}$이므로 $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{ax ^{n}}{1 + x ^{n}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a}{\frac{1}{x ^{n}} + 1}} = a$이다. ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해 $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} 0 & ( 0 < x < 1 ) \\ \frac{a}{2} & ( x = 1 ) \\ a & ( x > 1 ) \end{cases}}$ 이다. $\displaystyle f \left( \frac{1}{5} \right) = f \left( \frac{2}{5} \right) = f \left( \frac{3}{5} \right) = f \left( \frac{4}{5} \right) = 0$, $\displaystyle f \left( \frac{5}{5} \right) = f ( 1 ) = \frac{a}{2}$, $\displaystyle f \left( \frac{6}{5} \right) = f \left( \frac{7}{5} \right) = f \left( \frac{8}{5} \right) = f \left( \frac{9}{5} \right) = f \left( 2 \right) = a$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{10} f \left( \frac{k}{5} \right)$$\displaystyle = \frac{a}{2} + 5 a = \frac{11}{2} a$ 이다. $\displaystyle \frac{11}{2} a = 33$이므로 $a = 6$이다. [참고] $a > 0$일 때, $y = f ( x )$의 그래프는 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{a}{2}$