미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극한 조건과 수열

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 lim⁡n→∞(3an−5n)=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 3 a _{n} - 5 n \right)} = 2를 만족시킬 때, lim⁡n→∞(2n+1)an4n2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( 2 n + 1 \right) a _{n}}{4 n ^{2}}}의 값은? [3점] ①16\displaystyle \frac{1}{6}②13\displaystyle \frac{1}{3}③12\displaystyle \frac{1}{2}④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤56\displaystyle \frac{5}{6}

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⑤

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해설

[출제의도] 수열의 극한에 대한 성질을 이해하여 수열의 극한값을 구한다. bnb _{n}=3an−5n= 3 a _{n} - 5 n이라 하면 lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {b _{n}}=2= 2, ana _{n}=bn+5n3\displaystyle = \frac{b _{n} + 5 n}{3}이므로 lim⁡n→∞(2n+1)an4n2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( 2 n + 1 \right) a _{n}}{4 n ^{2}}}=lim⁡n→∞(2n+14n2×bn+5n3)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{2 n + 1}{4 n ^{2}} \times \frac{b _{n} + 5 n}{3} \right)} =lim⁡n→∞(2+1n)(bn×1n+5)12\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( 2 + \frac{1}{n} \right) \left( b _{n} \times \frac{1}{n} + 5 \right)}{12}} =(2+0)(2×0+5)12\displaystyle = \frac{\left( 2 + 0 \right) \left( 2 \times 0 + 5 \right)}{12}=56\displaystyle = \frac{5}{6}

태그

#수열의 극한#극한의 성질

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