극한 조건으로 이차함수 결정

[출제의도] 함수의 극한 이해하기 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{f ( x )}{x ^{2} + 2 x + 3} = 1}$에 의해서 함수 $f \left( x \right)$의 이차항의 계수는 $1$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {\frac{f ( x )}{x - 3} = 5}$에서 $\left( \text{분모} \right) \rightarrow 0$이므로 $\left( \text{분자} \right) \rightarrow 0$이다. 따라서 $f \left( 3 \right) = 0$이다. $f \left( x \right) = \left( x - 3 \right) \left( x + a \right)$라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {\frac{f ( x )}{x - 3}} = \lim\limits _{x \rightarrow 3} {\frac{\left( x - 3 \right) \left( x + a \right)}{x - 3}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3} {\left( x + a \right)}$$= 3 + a = 5$ $\therefore a = 2$ 따라서 $f \left( x \right) = \left( x - 3 \right) \left( x + 2 \right)$이므로 $f \left( 7 \right) = 36$이다.