미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

극한 조건으로 다항함수 결정

문제

다항함수 f(x)f \left( x \right)가 lim⁡x→∞f(x)−x3x2+1=2\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{f \left( x \right) - x ^{3}}{x ^{2} + 1}} = 2, lim⁡x→−1f(x)x+1=5\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {\frac{f \left( x \right)}{x + 1}} = 5 를 만족시킬 때, f(1)f \left( 1 \right)의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 함수의 극한에 대한 성질을 이용하여 다항함수 추론하기 lim⁡n→∞f(x)−x3x2+1=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{f ( x ) - x ^{3}}{x ^{2} + 1} = 2}이므로 f(x)=x3+2x2+ax+bf ( x ) = x ^{3} + 2 x ^{2} + ax + b lim⁡x→−1f(x)x+1=5\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {\frac{f ( x )}{x + 1} = 5}이므로 f(−1)=−1+2−a+b=0f ( - 1 ) = - 1 + 2 - a + b = 0 b=a−1b = a - 1 lim⁡x→−1f(x)x+1=lim⁡x→−1x3+2x2+ax+a−1x+1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {\frac{f ( x )}{x + 1}} = \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {\frac{x ^{3} + 2 x ^{2} + ax + a - 1}{x + 1}} =lim⁡x→−1(x+1)(x2+x+a−1)x+1\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {\frac{( x + 1 ) ( x ^{2} + x + a - 1 )}{x + 1}} =lim⁡x→−1(x2+x+a−1)\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {\left( x ^{2} + x + a - 1 \right)} =a−1=5= a - 1 = 5 따라서 a=6,b=5a = 6 , b = 5 f(x)=x3+2x2+6x+5f ( x ) = x ^{3} + 2 x ^{2} + 6 x + 5 f(1)=14f ( 1 ) = 14

태그

#함수의 극한#다항함수 결정

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