미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극한 조건으로 다항함수 구하기

문제

다항함수 f(x)f \left( x \right)가 다음 조건을 만족시킬 때, f(2)f \left( 2 \right)의 값은? (단, aa는 00이 아닌 상수이다.) [3점]

(가) lim⁡x→∞f(x)−ax22x2+1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} \frac{f \left( x \right) - ax ^{2}}{2 x ^{2} + 1}=12\displaystyle = \frac{1}{2} (나) lim⁡x→0f(x)x2−ax\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{f \left( x \right)}{x ^{2} - ax}=2= 2

①11②22③33④44⑤55

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④

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해설

(가) lim⁡x→∞f(x)−ax22x2+1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} \frac{f \left( x \right) - ax ^{2}}{2 x ^{2} + 1}=12\displaystyle = \frac{1}{2}에 의해 f(x)=(a+1)x2+bx+cf ( x ) = \left( a + 1 ) x ^{2} + bx + c \right. 라 놓을 수 있다. (나) lim⁡x→0f(x)x2−ax\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{f \left( x \right)}{x ^{2} - ax}=2= 2에서 f(0)=0f ( 0 ) = 0이므로 c=0c = 0 식에 대입하면 lim⁡x→0(a+1)x2+bxx2−ax\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{( a + 1 ) x ^{2} + bx}{x ^{2} - ax}=lim⁡x→0(a+1)x+bx−a\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {} \frac{( a + 1 ) x + b}{x - a} =−ba\displaystyle = - \frac{b}{a} 따라서 −ba=2\displaystyle - \frac{b}{a} = 2이므로 b=−2ab = - 2 a 즉, f(x)=(a+1)x2−2axf ( x ) = ( a + 1 ) x ^{2} - 2 a x ∴\therefore f(2)=4(a+1)−4a=4f ( 2 ) = 4 ( a + 1 ) - 4 a = 4

태그

#함수의 극한#다항함수 결정

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