미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극한 조건으로 다항함수

문제

xx에 대한 다항식 f(x)f ( x )가 lim⁡x→∞f(x)x2+x+1=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} \frac{f ( x ) _{}}{x ^{2} + x + 1} = 1, lim⁡x→1f(x)x−1=2\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{f ( x ) _{}}{x - 1} = 2 를 만족시킬 때, f(4)f ( 4 )의 값은? [3점] ①1111②1212③1313④1414⑤1515

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⑤

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해설

[출제의도] 함수의 극한 이해하기 lim⁡x→∞f(x)x2+x+1=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} \frac{f ( x ) _{}}{x ^{2} + x + 1} = 1이므로 f(x)f ( x )는 최고차항의 계수가 11인 이차다항식이다. ⋯㉠\cdots \text{㉠} lim⁡x→1f(x)x−1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{f ( x ) _{}}{x - 1}가 존재하므로 f(x)=(x−1)(x+a)f ( x ) = ( x - 1 ) ( x + a )이고, 극한값이 22이므로 lim⁡x→1(x−1)(x+a)x−1=lim⁡x→1(x+a)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{( x - 1 ) ( x + a ) _{}}{x - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\left( x + a \right)}=1+a=2{= 1 + a =} 2 에서 a=1a = 1이다. ⋯㉡\cdots \text{㉡} ㉠, ㉡에 의해 f(x)=(x−1)(x+1)f ( x ) = ( x - 1 ) ( x + 1 )이다. ∴f(4)=15\therefore f ( 4 ) = 15

태그

#함수의 극한#다항함수 결정

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