극한 조건 이차함수

조건 (가)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \frac{\sqrt{x ^{2}} - f \left( x \right)}{x + f \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \frac{- \left\{ x + f \left( x \right) \right\}}{x + f \left( x \right)} = - 1$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{\sqrt{x ^{2}} - f \left( x \right)}{x + f \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{x - f \left( x \right)}{x + f \left( x \right)} = 2$ 세 상수 $p$, $q$, $r$에 대하여 $f \left( x \right) = px ^{2} + qx + r \left( p > 0 \right)$이라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{- px ^{2} - \left( q - 1 \right) x - r}{px ^{2} + \left( q + 1 \right) x + r} = 2$이므로 $r = 0$, $q \ne - 1$ $\displaystyle \frac{- ( q - 1 )}{q + 1} = 2$, $\displaystyle q = - \frac{1}{3}$ $\displaystyle f \left( x \right) = px ^{2} - \frac{1}{3} x = x \left( px - \frac{1}{3} \right)$ 조건 (나)에서 $\displaystyle \lim\limits _{} {} \left( \sqrt{x ^{2}} - 3 \right) \ne 0$이면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} \frac{f ( x - 4 ) f ( x + 1 )}{\sqrt{x ^{2}} - 3}$의 값이 존재하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} \left( \sqrt{x ^{2}} - 3 \right) = \sqrt{a ^{2}} - 3 = 0$, $\left| a \right| = 3$ $a = - 3$ 또는 $a = 3$ (ⅰ) $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} \frac{f ( x - 4 ) f ( x + 1 )}{\sqrt{x ^{2}} - 3}$의 값이 존재하지 않는 실수 $a$의 값이 $\mathrm{-} 3$인 경우 $x = 3$에서 극한값이 존재하고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} \left( \sqrt{x ^{2}} - 3 \right) = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} f \left( x - 4 \right) f \left( x + 1 \right) = f \left( - 1 \right) \times f \left( 4 \right) = 0$ $\displaystyle - \left( - p - \frac{1}{3} \right) \times 4 \left( 4 p - \frac{1}{3} \right) = 0$ $\displaystyle \left( p + \frac{1}{3} \right) \left( 4 p - \frac{1}{3} \right) = 0$ $\displaystyle p = - \frac{1}{3}$ 또는 $\displaystyle p = \frac{1}{19}$ (ⅱ) $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a} \frac{f ( x - 4 ) f ( x + 1 )}{\sqrt{x ^{2}} - 3}$의 값이 존재하지 않는 실수 $a$의 값이 $\mathrm{3}$인 경우 $x = - 3$에서 극한값이 존재하고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 3} \left( \sqrt{x ^{2}} - 3 \right) = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 3} f ( x - 4 ) f ( x + 1 )$$= f ( - 7 ) \times f ( - 2 )$$= 0$ $\displaystyle - 7 \left( - 7 p - \frac{1}{3} \right) \times ( - 2 ) \left( - 2 p - \frac{1}{3} \right) = 0$ $\displaystyle \left( 7 p + \frac{1}{3} \right) \left( 2 p + \frac{1}{3} \right) = 0$ $\displaystyle p = - \frac{1}{21}$ 또는 $\displaystyle p = - \frac{1}{6}$ $p > 0$이므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $\displaystyle p = \frac{1}{12}$ $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{12} x ^{2} - \frac{1}{3} x = \frac{1}{12} x \left( x - 4 \right)$ 따라서 $\displaystyle f \left( 24 \right) = \frac{1}{12} \times 24 \times 20 = 40$