극한 조건 다항함수 최대

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{f ( x )}{x ^{3}} = 1}$에서 다항함수 $f ( x )$는 3차식이고 최고차항의 계수가 1임을 알 수 있다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {\frac{f ( x )}{x + 1} = 2}$에서 다항함수 $f ( x )$는 $f ( - 1 ) = 0$이고 $f ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c ( a , b , c \text{상수} )$라 하면 $x + 1$로 나눈 몫 $x ^{2} + ( a - 1 ) x + ( - a + b + 1 )$에 $x = - 1$을 대입 한 값이 2임을 알 수 있다. 정리하면 $f ( - 1 ) = 0$에서 $a - b + c = 1$ ∙∙∙① $x ^{2} + ( a - 1 ) x + ( - a + b + 1 )$에 $x = - 1$대입 한 값이 2 이므로 $2 a - b = 1$∙∙∙ ② $f ( 1 ) \leq 12$이므로 $a + b + c \leq 11$∙∙∙ ③ ②식에서 $b = 2 a - 1$ , ①식에서 $c = 1 + b - a$ 를 ③식에 대입하면 $a + b + 1 + b - a \leq 11$ 이므로 $b \leq 5$ 그러므로 $b$의 최댓값은 5, $b = 2 a - 1$이므로 $2 a - 1 \leq 5$, $a \leq 3$그러므로 $a$최댓값은 3 ③식에서 $a , b$의 최댓값이 $3 , 5$이므로 $c$의 값은 3이 된다. 그러므로 $f ( x ) = x ^{3} + 3 x ^{2} + 5 x + 3$이 된다. 따라서 $f ( 2 ) = 33$