미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

극한 조건 다항함수

문제

다항함수 $f \left( x \right)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $f \left( 3 \right)$ 의 값을 구하시오. [3점]

(가) $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{f \left( x \right)}{x ^{3}}} = 0$ (나) $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f \left( x \right)}{x - 1}} = 1$ (다) 방정식 $f \left( x \right) = 2 x$ 의 한 근이 $2$ 이다.

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[출제의도] 함수의 극한의 성질을 활용하여 문제해결하기 (가), (나)에서 함수 $f ( x )$ 는 $x - 1$ 을 인수로 갖는 일차함수 또는 이차함수이므로 $f ( x ) = ( ax + b ) ( x - 1 )$ 이라 하면 (나)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{( ax + b ) ( x - 1 )}{x - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {( ax + b ) =}} 1$ $a + b = 1$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ (다)에서 $f ( 2 ) = 4$ 이므로 $2 a + b = 4$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡에서 $a = 3$ , $b = - 2$ $\therefore$ $f ( x ) = ( 3 x - 2 ) \left( x - 1 \right)$ 따라서 $f ( 3 ) = 14$

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