미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극한 조건 다항함수

문제

다항함수 f(x)f ( x )가 lim⁡x→∞f(x)−x2x=3\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {} \frac{f ( x ) - x ^{2}}{x} = 3, lim⁡x→1x2−1(x−1)f(x)=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{x ^{2} - 1}{( x - 1 ) f ( x )} = 1 을 만족시킬 때, f(2)f ( 2 )의 값은? [3점]

①44②55③66④77⑤88

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⑤

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해설

[출제의도] 다항함수의 극한의 성질을 이용하여 함숫값을 구한다. lim⁡x→∞f(x)−x2x=3\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} \frac{f ( x ) - x ^{2}}{x} = 3이므로 f(x)−x2f ( x ) - x ^{2}은 일차항의 계수가 33인 일차식이다. f(x)−x2=3x+af ( x ) - x ^{2} = 3 x + a에서 f(x)=x2+3x+af ( x ) = x ^{2} + 3 x + a 이때 lim⁡x→1x2−1(x−1)f(x)=lim⁡x→1x+1f(x)=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{x ^{2} - 1}{( x - 1 ) f ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{x + 1}{f ( x )} = 1이므로 2f(1)=1\displaystyle \frac{2}{f ( 1 )} = 1 즉, f(1)=2f ( 1 ) = 2이다. f(1)=f ( 1 ) =1+3+a=21 + 3 + a = 2에서 a=−2a = - 2 따라서 f(x)=x2+3x−2f ( x ) = x ^{2} + 3 x - 2이므로 f(2)=22+3⋅2−2=8f ( 2 ) = 2 ^{2} + 3 \cdot 2 - 2 = 8

태그

#함수의 극한#다항함수 결정

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