미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

극한 조건 다항함수

문제

다음 두 조건을 모두 만족시키는 다항함수 $f ( x )$ 에 대하여 $f ( 2 )$ 의 값을 구하시오. [3점]


	(가) $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{x ^{2} + 3 x + 5}{f ( x )} = \frac{1}{2}}$ (나) $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f ( x )}{x - 1} = 3}$

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[출제의도] 함수의 극한의 성질을 이용하여 함수 추론하기 조건(가), (나)에 의하여 $f \left( x \right)$ 는 최고차항의 계수가 $2$ 인 이차함수이고, $f ( 1 ) = 0$ 이므로 $f ( x ) = 2 ( x - 1 ) ( x + a )$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {{\frac{f ( x )}{x - 1} = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{2 ( x - 1 ) ( x + a )}{x - 1} = 2 ( 1 + a ) = 3}}}$ $\displaystyle \therefore a = \frac{1}{2}$ $f ( x ) = ( x - 1 ) ( 2 x + 1 )$ $\therefore f ( 2 ) = 5$

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