미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극한 조건 다항함수

문제

다항함수 f(x)f ( x )가 lim⁡x→+0x3f(1x)−1x3+x=5\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow + 0} {\frac{x ^{3} f \left( \frac{1}{x} \right) - 1}{x ^{3} + x}} = 5, lim⁡x→1f(x)x2+x−2=13\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f ( x )}{x ^{2} + x - 2}} = \frac{1}{3} 을 만족시킬 때, f(2)f ( 2 )의 값을 구하시오. [3점]

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1010

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해설

lim⁡x→+0x3f(1x)−1x3+x\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow +0} \frac{x ^{3} f ( {\frac{1}{x}} ) - 1}{x ^{3} + x} (1x=t\displaystyle \frac{1}{x} = t라 놓으면) =lim⁡t→∞1t3f(t)−11t3+1t=lim⁡t→∞f(t)−t3t2+1=5\displaystyle = \lim\limits _{t\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{t ^{3}} f ( t ) - 1}{\frac{1}{t ^{3}} + \frac{1}{t}} = \lim\limits _{t\rightarrow \infty} \frac{f ( t ) - t ^{3}}{{t ^{2}} + {1}} = 5 ∴ f(x)=x3+5x2+ax+bf ( x ) = x ^{3} + 5 x ^{2} + ax + b 또 lim⁡x→1f(x)x2+x−2=13\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f ( x )}{x ^{2} + x - 2}} = \frac{1}{3} 에서 f(1)=0f ( 1 ) = 0 ∴ f(1)=6+a+b=0f ( 1 ) = 6 + a + b = 0 ∴ b=−a−6b = - a - 6 lim⁡x→1(x−1)(x2+6x+a+6)(x−1)(x+2)=13\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{( x - 1 ) ( x ^{2} + 6 x + a + 6 )}{( x - 1 ) ( x + 2 )}} = \frac{1}{3}에서 lim⁡x→1x2+6x+a+6x+2=13+a3=13\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{x ^{2} + 6 x + a + 6}{x + 2}} = \frac{13 + a}{3} = \frac{1}{3} ∴ a=−12,b=6a = - 12 , b = 6 ∴ f(x)=x3+5x2−12x+6f ( x ) = x ^{3} + 5 x ^{2} - 12 x + 6 ∴ f(2)=10f ( 2 ) = 10

태그

#함수의 극한#다항함수 결정

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