극한 정의 주기함수 보기

[출제의도] 수열의 극한을 이용하여 함수의 그래프 추론하기 $- 1 < x \leq 1$일 때, $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 x ^{2 n} + \left| x \right|}{x ^{2 n} + 1}}$이므로 $\left( \mathrm{i} \right)$ $\left| x \right| < 1$일 때, $\displaystyle f ( x ) = \frac{0 + \left| x \right|}{0 + 1} = \left| x \right|$ $\left( \mathrm{ii} \right)$ $x = 1$일 때, $\displaystyle f ( x ) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 + 1}{1 + 1}} = 2$ 이고, $f \left( x + 2 \right) = f \left( x \right)$이므로 함수 $f \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$y = f \left( x \right)$

ㄱ. $f ( 3 ) = 2$ (참) ㄴ.

원 $x ^{2} + y ^{2} = 2$는 $y = f ( x )$의 그래프와 만나지 않는다. (참) ㄷ.

원 $x ^{2} + y ^{2} = k$가 함수 $y = f ( x )$의 그래프와 서로 다른 네 점에서 만나려면 $\left( 1 , 2 \right)$, $\left( 3 , 2 \right)$, $\left( 5 , 2 \right)$, $\cdots$을 지나야 한다. 즉, 자연수 $n$에 대하여 $\left( 2 n - 1 , 2 \right)$를 지나야 한다. 이때 $( 2 n - 1 ) ^{2} + 2 ^{2} = k$이고 $k \leq 100$이므로 $n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5$이다. 따라서 $100$이하의 $k$의 개수는 $5$이다. (거짓)