극한 함수와 실근 개수

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle g \left( x \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2 n + 1} - 1}{\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2 n} + 1}}$에서 ⅰ) $\left| f \left( x \right) \right| > 1$일 때, $g \left( x \right) = f \left( x \right)$ ⅱ) $\left| f \left( x \right) \right| < 1$일 때, $g \left( x \right) = \mathit{-} 1$ ⅲ) $f \left( x \right) = 1$일 때, $g \left( x \right) = 0$ ⅳ) $f \left( x \right) = \mathit{-} 1$일 때, $g \left( x \right) = \mathit{-} 1$ 그러므로 함수 $g \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같다.

$y = g \left( x \right)$

방정식 $mg \left( x \right) = x + m$의 실근의 개수는 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{m} x + 1$이 만나는 점의 개수와 같다. (ⅰ) $m = 2 k - 1$($k$는 자연수)인 경우 (a) $x \geq 0$일 때,

$y = g \left( x \right)$ $m = 2 k - 1$ $\cdots$ $\left( 4 k - 2 , 3 \right)$

직선 $\displaystyle y = \frac{1}{m} x + 1$이 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프 위에 있지 않은 점 $\left( 4 k - 2 , 3 \right)$을 지난다. $k = 1$일 때, 만나는 점의 개수는 $1$ $k \geq 2$일 때, 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{m} x + 1$이 만나는 점의 개수는 구간 $\left( 0 , 1 \right)$에서 $1$, 구간 $\left( 4 l - 5 , 4 l - 3 \right)$($l = 2$, $3$, $\cdots$, $k$)에서 각각 $2$이다. 그러므로 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{m} x + 1$이 만나는 점의 개수는 $1 + 2 \left( k - 1 \right) = 2 k - 1$ (b) $x < 0$일 때,

$y = g \left( x \right)$ $\cdots$ $\left( - 2 k + 1 , 0 \right)$ $\left( - 4 k + 2 , - 1 \right)$

직선 $\displaystyle y = \frac{1}{m} x + 1$이 점 $\left( - 2 k + 1 , 0 \right)$과 $\left( - 4 k + 2 , - 1 \right)$을 지나므로 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{m} x + 1$이 만나는 점의 개수는 $2$이다. (a), (b)에 의하여 $a _{2 k - 1} = \left( 2 k - 1 \right) + 2 = 2 k + 1$ (ⅱ) $m = 2 k$($k$는 자연수)인 경우 (a) $x \geq 0$일 때,

$y = g \left( x \right)$ $m = 2 k$ $\cdots$ $\left( 4 k , 3 \right)$

직선 $\displaystyle y = \frac{1}{m} x + 1$이 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프 위의 점 $\left( 4 k , 3 \right)$을 지난다. $k = 1$일 때, 만나는 점의 개수는 $2$ $k \geq 2$일 때, 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{m} x + 1$이 만나는 점의 개수는 구간 $\left( 0 , 1 \right)$에서 $1$, 구간 $\left( 4 l' - 5 , 4 l' - 3 \right)$($l' = 2$, $3$, $\cdots$, $k$)에서 각각 $2$이다. 그러므로 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{m} x + 1$이 만나는 점의 개수는 $1 + 2 \left( k - 1 \right) + 1 = 2 k$ (b) $x < 0$일 때,

$\cdots$ $y = g \left( x \right)$ $\left( - 2 k , 0 \right)$ $\left( - 4 k , - 1 \right)$

직선 $\displaystyle y = \frac{1}{m} x + 1$이 점 $\left( - 2 k , 0 \right)$과 $\left( - 4 k , - 1 \right)$을 지나므로 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{m} x + 1$은 만나지 않는다. 그러므로 함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y = \frac{1}{m} x + 1$이 만나는 점의 개수는 $0$이다. (a), (b)에 의하여 $a _{2 k} = 2 k + 0 = 2 k$ (ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 $a _{2 k - 1} = 2 k + 1$, $a _{2 k} = 2 k$($k$는 자연수)이며 $a _{2 k - 1} + a _{2 k} = b _{k}$라 하면 $b _{k} = 4 k + 1$ 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{m = 1} ^{21} a _{m}$$\displaystyle = \sum\limits _{m = 1} ^{20} a _{m} + a _{21}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{10} b _{k} + a _{21}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{10} \left( 4 k + 1 \right) + 23$ $\displaystyle = 4 \times \frac{10 \times 11}{2} + 10 + 23 = 253$