극한 함수와 교점 개수

[출제의도] 수열의 극한으로 정의된 함수를 구하여 문제를 해결한다. 함수 $f ( x )$를 구하면 다음과 같다. (ⅰ) $\left| x \right| < 1$이면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x ^{n}}$$= 0$이므로 $f ( x )$$= \mathit{-} 1$ (ⅱ) $x = 1$이면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x ^{n}}$$= 1$이므로 $f ( x )$$\displaystyle = \frac{1}{2}$ (ⅲ) $x = \mathit{-} 1$이면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x ^{2 n + 1}}$$= \mathit{-} 1$이고 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {x ^{2 n}}$$= 1$이므로 $f ( x )$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{3}{2}$ (ⅳ) $\left| x \right| > 1$이면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{1}{x} \right) ^{n}}$$= 0$이므로 $f ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2 x - \left( \frac{1}{x} \right) ^{2 n}}{1 + \left( \frac{1}{x} \right) ^{2 n}}}$$= 2 x$ 그러므로 $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} - 1 & & \left( - 1 < x < 1 \right) \\ \frac{1}{2} & & \left( x = 1 \right) \\ - \frac{3}{2} & & \left( x = \mathit{-} 1 \right) \\ 2 x & & \left( x < \mathit{-} 1 \text{또는} x > 1 \right) \end{cases}}$ 함수 $y$$= f ( x )$의 그래프는 그림과 같다.

직선 $y$$= tx - 2$는 점 $\left( 0 , - 2 \right)$를 지나므로 기울기 $t$의 값에 따른 교점의 개수 $g ( t )$를 구해 보면 $\displaystyle - 1 \leq t < \mathit{-} \frac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle - \frac{1}{2} < t \leq 0$일 때 $g ( t )$$= 0$ $t < \mathit{-} 1$ 또는 $\displaystyle t = \mathit{-} \frac{1}{2}$ 또는 $0 < t \leq 1$ 또는 $t = 2$ 또는 $t \geq 4$일 때 $g ( t )$$= 1$ $1 < t < 2$ 또는 $\displaystyle 2 < t < \frac{5}{2}$ 또는 $\displaystyle \frac{5}{2} < t < 4$일 때 $g ( t )$$= 2$ $\displaystyle t = \frac{5}{2}$일 때 $g ( t )$$= 3$ 즉 함수 $g ( t )$가 $t = a$에서 불연속인 $a$의 값은 $- 1$, $\displaystyle - \frac{1}{2}$, $0$, $1$, $2$, $\displaystyle \frac{5}{2}$, $4$ 이므로 $m$$= 7$, $a _{m}$$= 4$ 따라서 $m \times a _{m}$$= 7 \times 4$$= 28$