극한 대소 관계

[출제의도] 함수의 극한 이해하기 (ⅰ) 부등식 $\displaystyle \frac{1}{2} x ^{2} + 2 x < f \left( x \right) < x ^{2} + 2 x$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\left( \frac{1}{2} x ^{2} + 2 x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\left( x ^{2} + 2 x \right)} = 0$이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의해 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {f \left( x \right)} = 0$ (ⅱ) $x > 0$일 때, $\displaystyle \frac{1}{2} x + 2 < \frac{f \left( x \right)}{x} < x + 2$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\left( \frac{1}{2} x + 2 \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\left( x + 2 \right) = 2}$이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의해 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\frac{f \left( x \right)}{x} = 2}$ $x < 0$일 때, $\displaystyle x + 2 < \frac{f \left( x \right)}{x} < \frac{1}{2} x + 2$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\left( x + 2 \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\left( \frac{1}{2} x + 2 \right) = 2}$이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의해 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\frac{f \left( x \right)}{x}} = 2$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {\frac{f \left( x \right)}{x}} = \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {\frac{f \left( x \right)}{x}} = 2$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{f \left( x \right)}{x}} = 2$ (ⅰ), (ⅱ)에 의해 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{xf \left( x \right) + 5 x}{2 f \left( x \right) - x}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{f \left( x \right) + 5}{2 \times \frac{f \left( x \right)}{x} - 1}}$ $\displaystyle = \frac{0 + 5}{2 \times 2 - 1}$ $\displaystyle = \frac{5}{3}$