극한 대소 관계

부등식 $5 x - 1 < \left( x ^{2} + 1 \right) f ( x ) < 5 x + 2$에서 $\displaystyle \frac{5 x - 1}{x ^{2} + 1} < f ( x ) < \frac{5 x + 2}{x ^{2} + 1}$ $x > 0$일 때, $\displaystyle \frac{x ( 5 x - 1 )}{x ^{2} + 1} < xf ( x ) < \frac{x ( 5 x + 2 )}{x ^{2} + 1}$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{x ( 5 x - 1 )}{x ^{2} + 1}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{x ( 5 x + 2 )}{x ^{2} + 1}}$$5$이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의해 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {xf ( x ) = 5}$