미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극한 대소 관계

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 모든 자연수 nn에 대하여 부등식 102n2+3n<an<102n2+n\displaystyle \frac{10}{2 n ^{2} + 3 n} < a _{n} < \frac{10}{2 n ^{2} + n} 을 만족시킬 때, lim⁡n→∞n2an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} n ^{2} a _{n}의 값을 구하시오. [3점]

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5

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해설

[출제의도] 수열의 극한의 대소 관계를 이해하여 수열의 극한값을 구한다. 부등식 102n2+3n<an<102n2+n\displaystyle \frac{10}{2 n ^{2} + 3 n} < a _{n} < \frac{10}{2 n ^{2} + n}의 양변에 n2n ^{2}을 곱하면 10n22n2+3n<n2an<10n22n2+n\displaystyle \frac{10 n ^{2}}{2 n ^{2} + 3 n} < n ^{2} a _{n} < \frac{10 n ^{2}}{2 n ^{2} + n} lim⁡n→∞10n22n2+3n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{10 n ^{2}}{2 n ^{2} + 3 n}=lim⁡n→∞10n22n2+n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{10 n ^{2}}{2 n ^{2} + n}=5= 5 이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 lim⁡n→∞n2an=5\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {n ^{2} a _{n}} = 5

태그

#수열의 극한#대소 관계

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