공통수학2원의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

극값 없는 삼차함수 영역과 직선의 교집합

문제

삼차함수 f(x)=(a−4)x3+3(b−2)x2−3ax+2f ( x ) = ( a - 4 ) x ^{3} + 3 ( b - 2 ) x ^{2} - 3 ax + 2가 극값을 갖지 않을 때, 좌표평면에서 점 (a,b)( a , b )가 존재하는 영역을 AA라 하고, B={(x,y)∣mx−y+m=0}B = \left\{ ( x , y ) \left| mx - y + m = 0 \right\} \right.이라 하자. A∩B≠ϕA \cap B \ne \phi이기 위한 mm의 최댓값과 최솟값의 합은?(단, a,a , b,b , mm은 실수이다.) [4점] ①95\displaystyle \frac{9}{5}②115\displaystyle \frac{11}{5}③125\displaystyle \frac{12}{5}④135\displaystyle \frac{13}{5}⑤145\displaystyle \frac{14}{5}

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③

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해설

삼차함수 f(x)=(a−4)x3+3(b−2)x2−3ax+2f ( x ) = ( a - 4 ) x ^{3} + 3 ( b - 2 ) x ^{2} - 3 ax + 2가 극값을 갖지 않으므로 f′(x)=3(a−4)x2+6(b−2)x−3af' ( x ) = 3 ( a - 4 ) x ^{2} + 6 ( b - 2 ) x - 3 a에서 D/4≤0D / 4 \leq 0이고 a≠4a \ne 4이다. 따라서 식을 정리하면, (a−2)2+(b−2)2≤22( a - 2 ) ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} \leq 2 ^{2}이며, 직선 mx−y+m=0mx - y + m = 0이 mm의 값과 관계없이 (−1,0)( - 1 , 0 )을 지난다. 이 때, 이 직선의 기울기가 mm이므로 두 도형이 교점을 가질 조건은 원의 중심과 직선사이의 거리가 반지름이하이면 된다.

따라서 ∣2m−2+m∣m2+1≤2\displaystyle \frac{\left| 2 m - 2 + m \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} \leq 2 이 식을 정리 하면, 0≤m≤125\displaystyle 0 \leq m \leq \frac{12}{5}이다.

태그

#삼차함수의 극값 조건#원과 직선의 위치관계

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