미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

거리 차의 극한

문제

곡선 y=x\displaystyle y = \sqrt{x} 위의 점 (t,t)\displaystyle ( t , \sqrt{t} )에서 점 (1,0)( 1 , 0 )까지의 거리를 d1d _{1}, 점 (2,0)( 2 , 0 )까지의 거리를 d2d _{2}라 할 때, lim⁡t→∞(d1−d2)\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \infty} ( d _{1} - d _{2} )의 값은? [3점] ①11②12\displaystyle \frac{1}{2}③14\displaystyle \frac{1}{4}④18\displaystyle \frac{1}{8}⑤00

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①

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해설

점(t( t, t)\displaystyle \sqrt{t} )에서 두 점(1( 1, 0)0 ), (2( 2, 0)0 )까지의 거리 d1d _{1}, d2d _{2}는 d1=(t−1)2+(t)2=t2−t+1\displaystyle d _{1} = \sqrt{( t - 1 ) ^{2} + ( \sqrt{t} ) ^{2}} = \sqrt{t ^{2} - t + 1} d2=(t−2)2+(t)2=t2−3t+4\displaystyle d _{2} = \sqrt{( t - 2 ) ^{2} + ( \sqrt{t} ) ^{2}} = \sqrt{t ^{2} - 3 t + 4} ∴lim⁡t→∞(d1−d2)\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \infty} ( d _{1} - d _{2} ) =lim⁡t→∞(t2−t+1−t2−3t+4)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \infty} ( \sqrt{t ^{2} - t + 1} - \sqrt{t ^{2} - 3 t + 4} ) =lim⁡t→∞2t−3t2−t+1+t2−3t+4\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \infty} \frac{2 t - 3}{\sqrt{t ^{2} - t + 1} + \sqrt{t ^{2} - 3 t + 4}} =lim⁡t→∞2−3t1−1t+1t2+1−3t+4t2\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \infty} \frac{2 - \frac{3}{t}}{\sqrt{1 - {\frac{1}{t}} + {\frac{1}{t ^{2}}}} + \sqrt{1 - {\frac{3}{t}} + {\frac{4}{t ^{2}}}}} =21+1=1\displaystyle = \frac{2}{1 + 1} = 1

태그

#무리식의 극한#두 점 사이 거리

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