거리 차의 극한

[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 함수의 극한값 구하는 문제를 해결한다. 최고차항의 계수가 $1$이고 두 점 $\mathrm{A} \left( - 2 , 0 \right)$, $\mathrm{P} \left( \mathit{t} , t + 2 \right)$를 지나는 이차함수 $f ( x )$는 $f ( x ) = \left( x + 2 \right) \left( x - t + 1 \right)$ 그러므로 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\mathrm{Q} \left( 0 , \mathit{2} - 2 t \right)$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}}$$\displaystyle = \sqrt{\left\{ t - \left( - 2 \right) \right\} ^{2} + \left( t + 2 - 0 \right) ^{2}}$$\displaystyle = \left| t + 2 \right| \sqrt{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}}$$\displaystyle = \sqrt{\left\{ 0 - \left( - 2 \right) \right\} ^{2} + \left\{ \left( 2 - 2 t \right) - 0 \right\} ^{2}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{t ^{2} - 2 t + 2}$ $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{2} \times {\overline{\mathrm{AP} \mathit{}}} - \overline{\mathrm{AQ}} \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\left( 2 \left| t + 2 \right| - 2 \sqrt{t ^{2} - 2 t + 2} \right)}$ $\displaystyle = 2 \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {} \frac{\left| t + 2 \right| ^{2} - \left( t ^{2} - 2 t + 2 \right)}{\left| t + 2 \right| + \sqrt{t ^{2} - 2 t + 2}}$ $\displaystyle = 2 \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{6 t + 2}{\left| t + 2 \right| + \sqrt{t ^{2} - 2 t + 2}}}$ $\displaystyle = 2 \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{6 + \frac{2}{t}}{\left| 1 + \frac{2}{t} \right| + \sqrt{1 - \frac{2}{t} + \frac{2}{t ^{2}}}}}$ $\displaystyle = 2 \times \frac{6 + 0}{1 + 1}$ $= 6$