확률과 통계조건부확률수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

가위바위보 조건부확률

문제

세 학생 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}가 다음 단계에 따라 최종 승자를 정한다.

[단계 11] 세 학생이 동시에 가위바위보를 한다. [단계 22] [단계 11]에서 이긴 학생이 11명뿐이면 그 학생이 최종 승자가 되고, 이긴 학생이 22명이면 [단계 33]으로 가고, 이긴 학생이 없으면 [단계 11]로 간다. [단계 33] [단계 22]에서 이긴 22명 중 이긴 학생이 나올 때까지 가위바위보를 하여 이긴 학생이 최종 승자가 된다.

가위바위보를 22번 한 결과 A\mathrm{A} 학생이 최종 승자로 정해졌을 때, 22번째 가위바위보를 한 학생이 22명이었을 확률은? (단, 각 학생이 가위, 바위, 보를 낼 확률은 각각 13\displaystyle \frac{1}{3}이다.) [4점] ①16\displaystyle \frac{1}{6}②13\displaystyle \frac{1}{3}③12\displaystyle \frac{1}{2}④23\displaystyle \frac{2}{3}⑤56\displaystyle \frac{5}{6}

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④

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해설

[출제의도] 조건부확률을 이용하여 확률을 구한다. AA가 22번 가위바위보를 하여 최종 승자가 되는 사건을 XX, 22번째 가위바위보를 한 학생이 22명인 사건을 YY라 하자. ⅰ) 첫 번째에 이긴 학생이 없을 때 세 학생이 첫 번째에 모두 다른 것을 내거나 모두 같은 것을 내고, 22번째에 AA가 이길 확률은 P(X∩YC)=\mathrm{P} \mathit{\left( X \cap Y ^{C} \right)} =3!+333×333=127\displaystyle \frac{3 ! + 3}{3 ^{3}} \times \frac{3}{3 ^{3}} = \frac{1}{27}이다. ⅱ) 첫 번째에 이긴 학생이 22명일 때 첫 번째에 AA를 포함한 22명이 이기고, 22번째에 AA가 이길 확률은 P(X∩Y)=\mathrm{P} \mathit{\left( X \cap Y \right)} =3×233×332=227\displaystyle \frac{3 \times 2}{3 ^{3}} \times \frac{3}{3 ^{2}} = \frac{2}{27}이다. ⅰ), ⅱ)에서 P(X)=\mathrm{P} \mathit{\left( X \right)} =P(X∩YC)+\mathrm{P} \mathit{\left( X \cap Y ^{C} \right)} +P(X∩Y)=\mathrm{P} \mathit{\left( X \cap Y \right)} =327\displaystyle \frac{3}{27}=19\displaystyle = \frac{1}{9} 따라서 P(Y∣X)=P(X∩Y)P(X)\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{Y} | X ) = \frac{\mathrm{P} \mathit{(} X \cap Y )}{\mathrm{P} \mathit{(} X )}=23\displaystyle = \frac{2}{3}

태그

#조건부확률#독립시행

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